Преподаватели: Алексей Львов, Иван Гайдай-Турлов, Даниил Кузаков

Гений и романтик — именно такие слова приходят на ум, когда пытаешься описать великого математика Эвариста Галуа, который двадцатилетним юношей скончался на дуэли, успев при этом заложить фундамент современной алгебры. О его открытиях и их глубоких связях с различными областями математики мы поговорим на нашем курсе.

Начнём мы с важнейшего аппарата теории Галуа - понятия группы. Вы уже встречались с ними в своей жизни. Например, множества перестановок элементов конечного множетсва, симметрий правильных многоугольников являются группами.

Далее мы изучим геометрическую(тополгическую) версию теории Галуа - теорию накрытий и фундаментальных групп. Например, мы научимся алгебраически отличать двумерную сферу от тора.

Наконец, в третьей части курсы мы расскажем о первоначальной - алгебраической версии теории Галуа. Обсудим поля, их расширения и группы Галуа. Применим полученные знания для решения некоторых знаменитых задач, например, о квадратуре круга, трисекции угла и о неразрешимости произвольного уравнения выше четвёртой степени в радикалах.

Преподаватели: Илья Алексеев, Василий Ионин

Изменение объектов с течением времени — основной интерес теории динамических систем. Числа, точки на плоскости, геометрические фигуры — сами объекты не столь важны, мы будем исследовать то, как они станут взаимодействовать и изменяться в зависимости от правил и условий различного сорта. Современная динамика интегрирует в себя разнообразные методы из алгебры и геометрии, топологии и теории меры, сама же являясь неотъемлемой частью исследовательского аппарата физических, биологических, экономических и компьютерных наук.

Одномерные динамические системы балансируют на грани исключительного богатства внутренней структуры и относительной простоты её восприятия, многие вопросы о траектории точек на окружности или прямой геометрическими методами сводятся к арифметике. Динамика на поверхностях сложнее, но всё ещё визуальна (окрошка из кошки). В простейших функциях из отрезка в отрезок хранится умопомрачительный фрактальный хаос бифуркационных диаграмм с обескураживающими физическими закономерностями и биологическими наблюдениями.

Динамика малых размерностей — доступный к восприятию первый шаг в программе ответов на глобальные фундаментальные вопросы реальности.

Преподаватель: Матвей Милаков

Сложно четко определить предмет изучения комбинаторики. В некотором смысле, это наука о структурах на конечных множествах: от классических перестановок и сочетаний до более сложных объектов вроде графов, разбиений или матроидов. Многие комбинаторные задачи связаны с подсчетом числа таких структур на множестве данного размера.

Для ответа на подобные вопросы математики давно придумали мощнейший инструмент – производящие функции. Это специальные ряды, коэффициенты которых кодируют количества комбинаторных конфигураций. С их помощью можно элегантно решать проблемы, которые кажутся неприступными для прямого подсчета. Более того, операции над производящими функциями (сумма, произведение, дифференцирование, композиция и другие) так же имеют и комбинаторный смысл, из-за чего сложные комбинаторные тождества превращаются в функциональные уравнения.

Но почему этот инструмент так эффективен? Откуда берется связь между алгебраическими операциями над рядами и комбинаторными построениями? Причина в том, что производящие функции являются лишь тенями более сложно устроенных сущностей — комбинаторных видов. Их изучению и посвящен курс.

В рамках занятий мы разберемся в том, что такое комбинаторные виды, какие действия можно над ними производить, как именно из них получаются производящие функции (заодно разберёмся, что это вообще такое), и вместе с тем добьемся более глубокого понимания комбинаторики как цельной науки. А самое главное, увидим, причем же здесь теория категорий...

Пререквизиты: знание базовых определений теории множеств и математического анализа (например, того, что такое ряды) и знакомство с комбинаторикой (особенно со свойствами перестановок) упростит восприятие курса, но не является обязательным, данный материал будет вкратце повторен

Преподаватель: Матвей Магин

Вещественная алгебраическая кривая на плоскости — это ничто иное, как множество решений уравнения F(x,y) = 0, где F — некоторый многочлен от двух переменных.

К примеру, все знают, что если многочлен F имеет степень 2, то могут получиться лишь 4 типа гладких кривых: эллипс, гипербола, парабола и <<мнимый эллипс>> (пустое множество). Если же рассматривать ту же задачу, но на проективной плоскости, всё несколько упрощается: различие между параболой, эллипсом и гиперболой пропадает. Можно задаться вполне естественным вопросом:

Какие картинки могут быть реализованы алгебраическими кривыми фиксированной степени m?
По-видимому, изучение этого вопроса началось с того как в 1876 году Аксель Харнак, писавший тогда диссертацию под руководством Феликса Клейна, доказал, что количество компонент связности кривой степени m не превосходит (m-1)(m-2)}/+ 1.

С возрастанием степени этот вопрос серьезно усложняется и если до степени 5 ответ на него можно дать вполне элементарно, то начиная со степени 6 мы неизбежно столкнёмся со многими трудностями. В своё время, занявшись этим вопросом для степени 6, Давид Гильберт включил его в известный список своих проблем (под номером 16). Дальнейшая история развития этого вопроса полна загадок, ошибок и удивительных теорем. Сейчас вопрос можно в некотором смысле считать решённым вплоть до степени 8 и существенная часть прогресса в нём принадлежит петербургским математикам.

В предлагаемом мини-курсе планируется изучить самые классические вопросы и доказать какое-то количество весьма красивых результатов. Сначала мы докажем теорему Безу и поговорим, какие нетривиальные ограничения на картинки она может давать. После этого мы выведем из неё неравенство Гарнака и обсудим, как для каждой степени m построить алгебраическую кривую с таким количеством компонент связности. Далее мы заметим, что у вещественной кривой есть и комплексные точки, которые представляют собой ориентируемую двумерную поверхность (сферу с g ручками) и обсудим, как такой взгляд на вещи помогает изучать вещественную картинку.

Пререквизиты. Никаких пререквизитов не предполагается. Необходимые (в небольшом количестве) азы топологии будут рассказаны по ходу дела.

Литература. Я планирую следовать классическим обзорам В.М. Харламова и О.Я. Виро, а также брошюре В.И. Арнольда (написанным как раз для школьников).

Преподаватель: Сергей Фомин

У выпуклого многогранника размерности N можно посчитать количества граней всех размерностей и записать их вместе. Эта запись зовётся f-вектором многогранника, и одна из основных задач комбинаторной теории выпуклых многогранников состоит в характеризации векторов целых неотрицательных чисел, реализуемых как f-вектора.

Широко известная формула Эйлера V-E+F=2, связывающая количества вершин (V), рёбер (E) и граней (F) выпуклого многогранника, почти решает эту задачу в размерности 3.

В курсе мы обсудим многомерную версию задачи и разберёмся в том, как (относительно) современные методы алгебраической топологии помогают продвинуться в её решении.

Пререквизит:
Желательно знать, что такое группа, кольцо, поле и векторное пространство.

Преподаватель: Ксения Барышева

На курсе мы познакомимся с классическим объектом теории вероятности - случайным блужданием
На первой лекции мы обсудим все базовые определения: как ведёт себя частица, движущаяся случайным образом? Вернётся ли она в исходную точку? Разберём классические примеры: блуждание на прямой, плоскости и в многомерных пространствах, а также узнаем, как решается задача о разорении игрока.

Далее мы увидим, как некоторые вероятностные результаты не зависят от конкретного распределения, и обсудим свежие результаты о выпуклых оболочках случайных блужданий. Интересно, что оказывается среднее число граней выпуклой оболочки случайного блуждания никак не зависит от распределения шагов этого блуждания.

Также мы познакомимся с понятием геометрической вероятности. Мы решим известную задачу про иглу Бюффона и поймем как с ее помощью вычислять число пи, выясним, какова средняя площадь тени от куба, и познакомимся с другими примерами.

На последней лекции мы обобщим изученные идеи, поговорим о внутренних объёмах. В конце обсудим нерешённые проблемы, над которыми работают математики в стохастической геометрии.

Пререквизиты: будет достаточно интуитивного понимания вероятности и умения интегрировать, остальные используемые понятия будут объяснены в процессе.

Преподаватель: Денис Коротченко

На курсе мы рассмотрим 3 совершенной разных (в том числе и с точки зрения парадигмы) языка программирования.

Для каждого языка одно занятие посвятим обсуждению, какими особенностями он обладает, когда, почему и зачем появился, а также обсудим базовый синтаксис. Второе занятие по языку будет практическим — порешаем простые задачи на платформе Codeforces или же поделаем задания, помогающие освоить специфические для языка особенности.

Преподаватели: Владимир Давидюк, Алексей Лотников

В данном курсе мы познакомимся с базовыми понятиями статистики и аб тестов, применяемых в индустрии. Посмотрим методы их применения и порешаем интересные задачи.

Постараемся понять что стоит за словами "ученые доказали ..." и как не быть одураченными случайностью.

Преподаватели: Андрей Хорохорин, Кирилл Митькин

Компилятор является одним из самых часто используемых инструментов во время разработки, наряду с редактором, инструментом для анализа кода или дебаггером. Архитектуры современных компиляторов часто представлены большим конвейером, где исходный код перетекает из одного промежуточного представления в другое, что позволяет значительно упростить разработку, сделав ее модульной, и переиспользовать большие компоненты для похожих задач.

В рамках этого курса мы сфокусируемся на учебном языке программирования Lama, с которым вы можете столкнуться на курсах по выбору у нас на факультете. В Lama одним из промежуточных представлений является байткод стековой машины, преобразование которого в ассемблер для архитектуры x86-64 уже реализовано. Это преобразование обычно называют кодогенерацией, так как оно фокусируется на генерации кода под конкретную архитектуру процессора. Вам предстоит реализовать кодогенерацию в активно развивающуюся открытую архитектуру RISC-V. Мы разберем устройство компилятора Lama и его промежуточные представления, коснемся его формальной семантики и runtime этого языка, а так же таких классических задач, как аллокация регистров или сборка мусора.

Пререквизиты:
* Опыт работы с командной строкой Linux.
* Желательно умение писать/читать код на C++ (предоставляемый шаблон кода будет на этом языке).

Преподаватель: Леонид Тернопол

Одноранговые (p2p) сети обмена данными сегодня можно встретить в самых разных местах: это и обычный BitTorrent, и "Оптимизация доставки" в Windows, и "Передача файлов игр по локальной сети" в Steam. Подобные технологии позволяют пользователям скачивать данные с компьютеров друг друга, снижая нагрузку на сервера компаний и увеличивая скорость получения контента.

В этом мини-курсе мы познакомимся с устройством компьютерных сетей, разберёмся, как передавать данные в них, и узнаем, как работает протокол BitTorrent. Кроме того, мы реализуем упрощённую версию этого протокола в своём приложении для обмена файлами.