Преподаватели: Павел Губкин, Мария Досполова

Два многоугольника на плоскости называются равносоставленными, если один из них можно разрезать на конечное число многоугольных частей и переложить, получив второй. Теорема Бойяи-Гервина утверждает, что многоугольники равносоставлены тогда и только тогда, когда их площади равны. Вопрос о равносоставленности в трехмерном пространстве является знаменитой третьей проблемой Гильберта. Если же в пространстве разрешить разбиения не только на многогранники, а на произвольные множества, то равносоставленными окажутся любые два многогранника (даже без условия на объемы!).

На курсе мы докажем теорему Бойяи-Гервина, покажем, что куб и правильный тетраэдр одинакового объема не равносоставлены, и обсудим парадокс Банаха-Тарского об удвоении яблока.

Преподаватель: Матвей Магин

Гипотеза Каталана утверждает, что уравнение 𝑥^𝑝 − 𝑦^𝑞 = 1 при натуральных 𝑥, 𝑦, 𝑝, 𝑞 > 1 имеет единственное решение: 3² − 2³ = 1. Как часто бывает в теории чисел, за элементарной формулировкой скрывается глубокая задача: гипотезу выдвинули в 1844 году, а доказал её Преда Михайлеску лишь в 2003-м.

Рассмотрение частных случаев этой задачи позволяет продемонстрировать богатый и глубокий арсенал методов алгебраической теории чисел.

В курсе мы разберём случай 𝑞 = 2 (1850 г., В. Лебег) при помощи разложения на множители в кольце гауссовых целых чисел ℤ[𝑖]. Также мы рассмотрим исторически первый решённый случай 𝑝 = 2, 𝑞 = 3 (1738 г., Л. Эйлер), обсудив классическое доказательство и его современную интерпретацию через группу рациональных точек эллиптической кривой 𝑦² = 𝑥³ + 1 (дав необходимый минимум теории).

Если останется время, мы научимся решать уравнение Рамануджана—Нагелля 𝑥² + 7 = 2^𝑛 при помощи однозначности разложения на множители в кольце целых поля ℚ().