Преподаватели: Сергей Архипов

Иногда в геометрии нас интересует вопрос о количестве объектов с некоторым свойством. Например, все знают, что через любые две различные точки проходит ровно одна прямая.

Но иногда ответ зависит от каких-то параметров, которые мы не очень хотим контролировать. Например, некоторые знают, что для трёх данных окружностей существует не более 8 окружностей, которые их касаются. И более того, их почти всегда 8!

Первая часть курса будет посвящена формализации того, что такое почти всегда. А именно краткому введению в алгебраическую геометрию.

Вторая часть курса будет посвящена тем вопросам о количестве, которые автор не знает, как решать геометрически. Например: сколько коник на плоскости касаются данных пяти?

Для решения таких задач мы немного изучим такую науку, которая называется теория пересечений. Именно приложениям теории пересечений к геометрическим задачам на плоскости и будет посвящён данный курс.

Преподаватели: Артем Болотин, Анна Котова

Рассмотрим следующую задачу. 100 школьников участвуют в интеллектуальном соревновании. Им предлагается по очереди по одному зайти в комнату, где стоит шкаф со 100 ящиками. В каждом из ящиков лежит ровно одна карточка с именем одного из участников, и каждое имя встречается ровно один раз. Зашедшему школьнику разрешается открыть и проверить 50 ящиков в любом порядке. После каждого участника ящики снова закрываются, а все номера остаются в ящиках. Если все школьники найдут свои имена, то они получат суперприз; если же хотя бы один не найдёт своё имя, то суперприз не получит никто. Прежде чем первый школьник войдёт в комнату, они могут обсудить стратегию, но не могут общаться после этого момента. Какова лучшая стратегия для участников?

На первый взгляд, шансов получить суперприз практически нет. Если школьник будет выбирать 50 ящиков случайным образом, то он найдёт своё имя с вероятностью 1/2. А вероятность, что все найдут свой номер, равна (1/2)¹⁰⁰. Оказывается, что существует стратегия, при которой школьники получают суперприз с вероятностью, большей чем 0, 3 !

В курсе мы познакомимся с этой стратегией, которая послужит отправной точкой к изучению случайных перестановок. После мы перейдём к рассмотрению пуассоновских случайных величин и пуассоновских точечных процессов. В конце мы увидим удивительную связь между теорией случайных перестановок и пуассоновскими процессами.

Преподаватель: Иван Насонов

Мы изучим как теория функций Морса помогает решать различные задачи топологии. Эта теория, разработанная в первой половине 20 века, оказалась очень продуктивной и многогранной. В малых размерностях она часто позволяет полностью решить определенные задачи классификации.
Мы подробно обсудим критические точки, градиентные траектории, разложения на ручки и проч. Дадим необходимые определения и элементы теории, при этом сделав акцент на примерах и приложениях. Если останется время, в конце поработаем с дискретной теорией Морса

Преподаватели: Егор Добронравов, Никита Добронравов

Простейшим примером применения метода является ответ на следующий вопрос.
Пусть дана функция и набор функций . Какие значения может принимать вектор?
Оказывается, это в точности выпуклая оболочка кривой , задаваемой отображением .
В частности, данный подход позволяет отвечать на вопросы следующего рода.
Предположим, что известны первый и второй моменты функции (то есть интегралы и ). В каких пределах в таком случае может меняться её третий момент: ?
Также в курсе планируется затронуть более продвинутые методы, такие как метод Буркхольдера и метод функции Беллмана, которые позволяют решать целый класс задач гармонического анализа.

Преподаватели: Павел Губкин, Мария Досполова

Два многоугольника на плоскости называются равносоставленными, если один из них можно разрезать на конечное число многоугольных частей и переложить, получив второй. Теорема Бойяи-Гервина утверждает, что многоугольники равносоставлены тогда и только тогда, когда их площади равны. Вопрос о равносоставленности в трехмерном пространстве является знаменитой третьей проблемой Гильберта. Если же в пространстве разрешить разбиения не только на многогранники, а на произвольные множества, то равносоставленными окажутся любые два многогранника (даже без условия на объемы!).

На курсе мы докажем теорему Бойяи-Гервина, покажем, что куб и правильный тетраэдр одинакового объема не равносоставлены, и обсудим парадокс Банаха-Тарского об удвоении яблока.

Преподаватель: Матвей Магин

Гипотеза Каталана утверждает, что уравнение 𝑥^𝑝 − 𝑦^𝑞 = 1 при натуральных 𝑥, 𝑦, 𝑝, 𝑞 > 1 имеет единственное решение: 3² − 2³ = 1. Как часто бывает в теории чисел, за элементарной формулировкой скрывается глубокая задача: гипотезу выдвинули в 1844 году, а доказал её Преда Михайлеску лишь в 2003-м.

Рассмотрение частных случаев этой задачи позволяет продемонстрировать богатый и глубокий арсенал методов алгебраической теории чисел.

В курсе мы разберём случай 𝑞 = 2 (1850 г., В. Лебег) при помощи разложения на множители в кольце гауссовых целых чисел ℤ[𝑖]. Также мы рассмотрим исторически первый решённый случай 𝑝 = 2, 𝑞 = 3 (1738 г., Л. Эйлер), обсудив классическое доказательство и его современную интерпретацию через группу рациональных точек эллиптической кривой 𝑦² = 𝑥³ + 1 (дав необходимый минимум теории).

Если останется время, мы научимся решать уравнение Рамануджана—Нагелля 𝑥² + 7 = 2^𝑛 при помощи однозначности разложения на множители в кольце целых поля ℚ().

Преподаватели: Виктор Хамзин, Глеб Юдин

Представьте, что вы играете в орлянку, подбрасывая честную монетку и выигрывая или проигрывая в зависимости от того, выпал орёл или решка. Возможно ли, зная всю предыдущую историю бросков монетки, придумать стратегию дальнейшей игры, которая гарантированно обеспечит вам выигрыш?

Ответить на этот и другие вопросы подобного толка помогает теория мартингалов — один из самых интересных разделов современной теории вероятностей. По сути, мартингал представляет собой такой случайный процесс, что наилучшим предсказанием процесса в будущем является его текущее значение.

За пять занятий мы сформулируем все необходимые определения, докажем ряд интересных результатов, в частности, теорему Дуба о моменте остановки. Курс будет совмещать лекционную и практическую части, что позволит слушателям хорошо прочувствовать изучаемые объекты.